COMMENTAIRES SUR UN " OUTLINE " (3) C. Wells a recemment rendu public (et disponible par FTP, en ftp.cwru.edu, repertoire math/wells, fichier sketch.dvi) un texte intitule: " Sketches : Outline with References ". La version multigraphiee, du 6 juillet 1993, qui m'est parvenue necessite quelques commentaires ... En voici un troisieme, concernant l'esquisse des 2-categories, dont on peut se douter par avance qu'elle ne figure pas qu'en [Power et Wells, 1992]. En [E. Burroni, 1970] sont etudiees les "categories discretement structurees" par une categorie (cartesienne) V : en termes "actuels", elles s'identifient aux categories enrichies par V . On y trouve, notamment, la description detaillee d'une FP-esquisse petite Ecatenrich(x) de sorte que : - pour tout ensemble x et pour toute categorie cartesienne V , la categorie Mod ( Ecatenrich(x) , V ) est equivalente a la categorie des V-categories (petites) qui ont x pour ensemble d'objets (si, E etant une esquisse et C une categorie, on convient de noter Mod ( E , C ) la categorie des modeles de E dans C ). En particulier, si V = Cat , la categorie Mod ( Ecatenrich(x) , Cat ) est donc equivalente a la categorie des 2-categories (petites) qui ont x pour ensemble d'objets. En [Ehresmann, 1963a et 1963b] sont introduites les (petites) categories structurees par une categorie (localement petite et finiment complete) C : en termes qui se veulent "modernes", elles s'identifient aux categories internes a C . De la sorte, la categorie des petites categories structurees par C est equivalente a la categorie Mod ( Ecat , C ) (si Ecat designe l'esquisse des categories). Par exemple, les categories doubles de [Ehresmann, 1963a et 1963b] sont les categories structurees par C = Cat : ainsi, une categorie double a une "categorie des objets", une "categorie des fleches" ... En particulier, les 2-categories s'identifient donc aux categories doubles dont la "categorie des objets" est une categorie discrete. De [Lair, 1975b] ressort (notamment) que la categorie des FP- esquisses petites est munie d'une structure monoidale, symetrique et fermee "canonique" (parmi d'autres). De sorte que le produit tensoriel "canonique" EoE' , d'une FP-esquisse petite E par une autre FP-esquisse petite E' , verifie : - si C est une categorie localement petite et finiment complete, alors les trois categories Mod ( EoE' , C ) , Mod ( E , Mod(E',C) ) et Mod ( E' , Mod(E,C) ) sont "canoniquement" quivalentes. En particulier, si C = Ens , si E = Ecatenrich(x) et si E' = Ecat , alors on voit IMMEDIATEMENT que Ecatenrich(x) o Ecat est une esquisse pour les 2-categories qui ont x pour ensemble d'objets. De meme, si C = Ens et si E = E' = Ecat , alors on voit IMMEDIATEMENT que Ecat o Ecat est une esquisse pour les categories doubles. Comme il est PLUS QUE TRIVIAL de construire une esquisse Ecatdis pour les categories discretes, il est PLUS QU'ELEMENTAIRE d'en deduire qu'une somme (fibree) convenable "au dessus de Ecat " : (Ecat o Ecat) + Ecatdis Ecat est une esquisse pour les 2-categories. L'Oultine est donc PLUS QU'INCONSEQUENT en se contentant de proclamer NAIVEMENT (en son point 4.2, lignes 3 et 4 ) que: " The sketch for 2-categories is given in [Power and Wells,1992]" . REFERENCES (autres que celles figurant dans le Outline) [Ehresmann, 1963a] : C. Ehresmann, Categories structurees, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., t. 80, pp. 349-426, Paris (1963). [Ehresmann, 1963b] : C. Ehresmann, Categories doubles et categories structurees, Note aux C.R.A.S., t. 256, pp. 1198-1201, Paris (1963). [E. Burroni, 1970] : E. Burroni, Categories discretement structurees et triples, Esquisses Math. 5, Paris (1970). Christian LAIR ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++