In reply to Don MacInnes' message "Free categories": Existence theorems for biuniversal models of a theory in a 2-category (eg, the 2-category of "X-categories") can be found in the following paper, together with references to earlier results. R. Betti - M. Grandis, Complete theories in 2-categories, Cahiers Topologie Geom. Differentielle 29 (1988), 9-57. ______ Abstract (accents omitted) On etudie les theories a valeurs dans une 2-categorie concrete A, en tant que 2-foncteurs "des modeles" T: A -> CAT, et leurs modeles biuniversels, en tant que birepresentations de T. Des theoremes d'existence pour ces derniers sont donnes, a partir d'un theoreme de l'objet biinitial etendant le theoreme de Freyd a la dimension 2, et d'autres resultats sur les pseudolimites et les bilimites dans les 2-categories. En particulier une theorie peut etre definie par des conditions "synthaxiques" ayant sens dans les objets de A: par exemple, des conditions de commutativite, de limite, de colimite, d'additivite, de majoration, etc. On retrouve alors, par une methode generale procedant "d'en haut" au lieu que par des constructions synthaxiques "d'en bas", des resultats tel que l'existence du modele generique d'une esquisse de Bastiani-Ehresmann ou du topos libre engendre par un graphe. ______ With best regards Marco Grandis