[Note from moderator: Please take note that there is an update to the section on how to use the mailing list, including policy, on the list home page - there is a link at the end of this, and every, message. One change entails that responses to postings such as the current one should be sent to the poster, and not to the list.] Dear All, if there are people interested in Riemann's work on this list, please, help me to clarify this puzzle. In the below passage (Habilitationsvortrag, section 1, paragraph 2) Riemann writes about a construction of manifolds of higher dimensions from one-dimensional ones. What seems me puzzling is the fact that given a one-dimensional manifold $I$ Riemann apparently identifies a two-dimensional manifold with an exponential object $I^I$ but not with the product $I\times I$ as one could expect (perhaps without good reason). At least this is how I can interpret the following sentence (Clifford's translation): "If one now supposes that this manifoldness in its turn passes over into another entirely different, and again in a definite way, namely so that each point passes over into a definite point of the other, then all the specialisations so obtained form a doubly extended manifoldness." I would be grateful for your comments. Below are Clifford's translation of the whole passage and the German original. best wishes, Andrei If in the case of a notion whose specialisations form a continuous manifoldness, one passes from a certain specialisation in a definite way to another, the specialisations passed over form a simply extended manifold- ness, whose true character is that in it a continuous progress from a point is possible only on two sides, forwards or backwards. If one now supposes that this manifoldness in its turn passes over into another entirely different, and again in a definite way, namely so that each point passes over into a definite point of the other, then all the specialisations so obtained form a doubly extended manifoldness. In a similar manner one obtains a triply extended manifoldness, if one imagines a doubly extended one passing over in a denite way to another entirely dierent; and it is easy to see how this construction may be continued. If one regards the variable object instead of the deter- minable notion of it, this construction may be described as a composition of a variability of n + 1 dimensions out of a variability of n dimensions and a variability of one dimension. Geht man bei einem Begrief, dessen Bestimmungsweisen eine stetige Mannigfaltigkeit bilden, von einer Bestimmungsweise auf eine bestimmte Art zu einer andern uber, so bilden die durchlaufenen Bestimmungsweisen eine einfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, deren wesentliches Kennzeichen ist, dass in ihr von einem Punkte nur nach zwei Seiten, vorwarts order ruckwarts, ein stetiger Fortgang moglich ist. Denkt man sich nun, dass diese Mannigfaltigkeit wieder in eine andere, vollig verschiedene, ubergeht, und zwar wieder auf bestimmte Art, d. h. so, dass jeder Punkt in einen bestimmten Punkt der andern ubergeht, so bilden sammtliche so erhaltene Bestimmungsweisen eine zweifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit. In ahnlicher Weise erhalt man eine dreifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, wenn man sich vorstellt dass eine zweifach ausgedehnte in eine vollig verschiedene auf bestimmte Art ubergeht, und es ist leicht zu sehen, wie man diese Construction fortsetzen kann. Wenn man, anstatt den Begri als bestimmbar, seinen Gegenstand als veranderlich betrachtet, so kann diese Construction bezeichnet werden als eine Zusammensetzung einer Veranderlichkeit von n+1 Dimensionen aus einer Veranderlichkeit von n Dimensionen und aus einer Veranderlichkeit von Einer Dimension. [For admin and other information see: http://www.mta.ca/~cat-dist/ ]